Câu 1: Trang 77 - SGK hình học 11
Cho hai hình thang ABCD và ABEF có chung đáy lớn AB và không cùng nằm trong một mặt phẳng.
a) Tìm giao tuyến của các mặt phẳng sau: (AEC) và (BFD), (BCE) và (ADF).
b) Lấy điểm M thuộc đoạn DF. Tìm giao điểm của đường thẳng AM với mặt phẳng (BCE).
c) Chứng minh hai đường thẳng AC và BF không cắt nhau.
Lời giải
Theo giả thiết ta có hình sau:
a) Giao tuyến của (AEC) và (BFD)
Trong hình thang ABCD, AC cắt DB tại G, ta có:
G ∈ AC ⊂ (ACE)
và G ∈ DB ⊂ (BFD)
=>G ∈ (AEC) ∩ (BFD) (1)
Tương tự, AE cắt BF tại H ta có
H ∈ AE ⊂ (AEC)
H ∈ BF ⊂ (BFD)
=> H ∈ (AEC) ∩ (BFD) (2)
Từ (1) và (2) => GH = (AEC) ∩ (BFD)
*Giao tuyến của (BCE) và (ADF)
Trong hình thang ABCD, BC cắt AD tại I
=> I ∈ (BCE) ∩ (ADF)
Trong hình thang ABEF, BE cắt AF tại K
=> K ∈ (BCE) ∩ (ADF)
Vậy IK = (BCE) ∩ (ADF)
b) Trong mặt phẳng (ADF), AM cắt IK tại N
=> N ∈ AM
và N ∈ IK ⊂ (BCE)
=> N ∈ (BCE)
Vậy N = AM ∩ (BCE)
c) Giả sử AC và BF cắt nhau tại R, ta có :
R ∈ AC ⊂ (ABCD)
và R ∈ BF ⊂(ABEF)
=> R ∈ (ABCD) ∩ (ABEF)
=> R ∈ AB
=> AC, BF, AB đồng qui tại R :vô lí !
Vậy AC và BF không cắt nhau.
Câu 2: Trang 77 - SGK hình học 11
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình bình hành. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm của đoạn thẳng SA, BC, CD. Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (MNP). Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD, hãy tìm giao điểm của đường thẳng SO với mặt phẳng (MNP).
Lời giải
Theo giả thiết ta có hình vẽ sau:
a) Trong mặt phẳng (ABCD), gọi F = AD ∩ PN và E = AB ∩ PN
Trong mặt phẳng (SAD), gọi Q = ME ∩ SD
Trong mặt phẳng (SAB), gọi R = MF∩ SB
Nối PQ, NR ta được các đoạn giao tuyến của mặt phẳng (MNP) với các mặt bên và mặt đáy của hình chóp là MQ, QP, PN, NR, RM
Các đoạn giao tuyến này khép kín tạo thành thiết diện là ngũ giác MQPNR.
b) Gọi H là giao điểm của AC và PN.
Trong (SBD), SO ∩ MH = I
=> I ∈ SO
và I ∈ MH => I ∈ (MNP)
Vậy H = SO ∩ (MNP)
Câu 3: Trang 77 - SGK hình học 11
Cho hình chóp đỉnh S có đáy là hình thang ABCD với AB là đáy lớn. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh SB và SC.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC)
b) Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng (AMN)
c) Tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (AMN)
Lời giải
Theo giả thiết ta có hính sau:
a) Gọi E= AD ∩ BC.
=> E ∈ AD => E ∈ (SAD)
và E ∈ BC => E ∈ (SBC)
=> E ∈ (SAD) ∩ (SBC), mà S ∈ (SAD) ∩ (SBC).
=>SE = (SAD) ∩ (SBC)
b) Trong mặt phẳng (SBE), gọi F = MN ∩ SE
=> (AMN) = (AMF)
Trong mặt phẳng (SAE), AF ∩ SD = P
=> P ∈ SD và P ∈ AF
=> P ∈ (AMN) => P = SD ∩ (AMN)
c) Mặt phẳng (AMN) cắt các mặt bên của hình chóp S.ABCD theo các đoạn giao tuyến AM, MN, NP, PA.
Vậy tứ giác AMNP là tiết diện cắt vởi mặt phẳng (AMN) và hình chóp SABCD.
Câu 4: Trang 78 - SGK hình học 11
Cho hình bình hành ABCD. Qua A, B, C, D lần lượt vẽ bốn nửa đường thẳng Ax, By, Cz, Dt ở cùng phía đối với mặt phẳng (ABCD), song song với nhau và không nằm trong mặt phẳng (ABCD). Một mặt phẳng (β) lần lượt cắt Ax, By, Cz và Dt tại A’, B’, C’ và D’.
a) Chứng minh: mặt phẳng (Ax, By) song song với mặt phẳng (Cz, Dt)
b) Gọi I = AC ∩ BD, J = A’C’ ∩ B’D’. Chứng minh: IJ song song với AA’.
c) Cho AA’ = a, BB’ = b, CC’ = c. Hãy tính DD’.
Lời giải
Theo giả thiết ta có hình sau:
a) ABDC là hình bình hành => AB // DC (1)
Theo giả thiết Ax // Dt (2)
Từ (1) và (2) => mặt phẳng (Ax, By) song song với mặt phẳng (Cz, Dt) (Đpcm)
b) Do (Ax, By) // (Cz, Dt)
=>A'B' //D’C’.
tương tự, ta có: A’D’ // B’C’
=>tứ giác A’B’C’D’ là hình bình hành,
Ta có: I là giao của AC và DB và J là giao của A'C' và B'D'
=> J là trung điểm của A’C’ và I là trung điểm của AC .
Mặt khác Ax // Cz nên tứ giác ACC’A’ là hình thang
=>IJ // AA’ (đpcm)
c) Vì IJ là đường trung bình của hình thang ACC’A’ nên IJ =\[\frac{1}{2}\] (AA’ + CC’)
IJ cũng là đường trung bình của hình thang BDD’B’: IJ =\[\frac{1}{2}\] ( BB’ + DD’)
Từ đây suy ra: DD’ + BB’ = AA’ + CC’ DD’ = a + c – b