Bài 2.1 trang 22 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11
Giải các phương trình
a) \[\sin 3x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\]
b) \[\sin \left( 2x-{{15}^{o}} \right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\]
c) \[\sin \left( \frac{x}{2}+{{10}^{o}} \right)=-\frac{1}{2}\]
d) \[\sin 4x=\frac{2}{3}\]
Giải:
a) \[x=-\frac{\pi }{9}+k\frac{2\pi }{3},k\in Z\] và \[x=\frac{4\pi }{9}+k\frac{2\pi }{3},k\in Z\]
b) \[x={{30}^{o}}+k{{180}^{o}},k\in Z\] và \[x={{75}^{o}}+k{{180}^{o}},k\in Z\]
c) \[x=-{{80}^{o}}+k{{720}^{o}},k\in Z\] và \[x={{400}^{o}}+k{{720}^{o}},k\in Z\]
d) \[x=\frac{1}{4}\arcsin \frac{2}{3}+k\frac{\pi }{2},\text{k}\in Z\] và \[x=\frac{\pi }{4}-\frac{1}{4}\text{arcsin}\frac{2}{3}+k\frac{\pi }{2},k\in Z\]
Bài 2.2 trang 22 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11
Giải các phương trình
a) \[\cos \left( x+3 \right)=\frac{1}{3}\]
b) \[\cos \left( 3x-{{45}^{o}} \right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\]
c) \[\cos \left( 2x+\frac{\pi }{3} \right)=-\frac{1}{2}\]
d) \[\left( 2+\cos x \right)\left( 3\cos 2x-1 \right)=0\]
Giải:
a) \[x=-3\pm \arccos \frac{1}{3}+k2\pi ,k\in Z\]
b) \[x={{25}^{o}}+k{{120}^{o}},x={{5}^{o}}+k{{120}^{o}},k\in Z\]
c) \[x=\frac{\pi }{6}+k\pi ,x=-\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in Z\]
d) \[x=\pm \frac{1}{2}\arccos \frac{1}{3}+k\pi ,k\in Z\]
Bài 2.3 trang 23 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11
Giải các phương trình
a) \[\tan \left( 2x+{{45}^{o}} \right)=-1\]
b) \[\cot \left( x+\frac{\pi }{3} \right)=\sqrt{3}\]
c) \[\tan \left( \frac{x}{2}-\frac{\pi }{4} \right)=\tan \frac{\pi }{8}\]
d) \[\cot \left( \frac{x}{3}+{{20}^{o}} \right)=-\frac{\sqrt{3}}{3}\]
Giải:
a) \[x=-{{45}^{o}}+k{{90}^{o}},k\in Z\]
b) \[x=-\frac{\pi }{6}+k\pi ,k\in Z\]
c) \[x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi ,k\in Z\]
d) \[x={{300}^{o}}+k{{540}^{o}},k\in Z\]
Bài 2.4 trang 23 Sách bài tập Đại số và giải tích 11
Giải các phương trình:
a) \[\frac{\sin 3x}{\cos 3x-1}=0\]
b) \[\cos 2x\cot \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=0\]
c) \[\tan \left( 2x+{{60}^{o}} \right)\cos \left( x+{{75}^{o}} \right)=0\]
d) \[\left( \cot x+1 \right)\sin 3x=0\]
Giải:
a) Điều kiện: cos3x ≠ 1. Ta có:
sin3x = 0 ⇒ 3x = kπ. Do điều kiện, các giá trị k = 2m, m ∈ Z bị loại nên 3x = (2m + 1)π. Vậy nghiệm của phương trình là \[x=\left( 2m+1 \right)\frac{\pi }{3},m\in Z\]
b) Điều kiện: \[\sin \left( x-\frac{\pi }{4} \right)\ne 0\] Biến đổi phương trình:
\[\cos 2x.\cot \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=0\Rightarrow \cos 2x.\cos \left( x-\frac{\pi }{4} \right)=0\]
.png)
Do điều kiện, các giá trị \[x=\frac{\pi }{4}+2m\frac{\pi }{2},m\in Z\] bị loại. Vậy nghiệm của phương trình là:
\[x=\frac{\pi }{4}+\left( 2m+1 \right)\frac{\pi }{2},m\in Z\] và \[x=\frac{3\pi }{4}+k\pi ,k\in Z\]
c) Điều kiện
\[\cos \left( 2x+{{60}^{o}} \right)\ne 0\]
Do điều kiện ở trên, các giá trị \[x={{15}^{o}}+k{{180}^{o}},k\in Z\] bị loại.Vậy nghiệm của phương trình là: \[x=-{{30}^{o}}+k{{90}^{o}},k\in Z\]
Điều kiện: sinx ≠ 0. Ta có:
.png)
Do điều kiện sinx ≠ 0 nên những giá trị \[x=k\frac{\pi }{3}\] và \[k=3m,m\in Z\] bị loại.
Vậy nghiệm của phương trình là:\[x=-\frac{\pi }{4}+k\pi ;x=\frac{\pi }{3}+k\pi \] và \[x=\frac{2\pi }{3}+k\pi ,k\in Z\]
Bài 2.5 trang 23 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11
Tìm những giá trị của x để giá trị của các hàm số tương ứng sau bằng nhau
a) \[y=\cos \left( 2x-\frac{\pi }{3} \right)\] và \[y=\cos \left( \frac{\pi }{4}-x \right)\]
b) \[y=\sin \left( 3x-\frac{\pi }{4} \right),y=\sin \left( x+\frac{\pi }{6} \right)\]
c) \[y=\tan \left( 2x+\frac{\pi }{5} \right);y=\tan \left( \frac{\pi }{5}-x \right)\]
d) \[y=\cot 3x\] và \[y=\cot \left( x+\frac{\pi }{3} \right)\]
Giải:
a)
.png)
Vậy các giá trị cần tìm là \[x=\frac{7\pi }{36}+k\frac{2\pi }{3},k\in Z\] và \[x=\frac{\pi }{12}+k2\pi ,k\in Z\]
b)
.png)
Vậy các giá trị cần tìm là: \[x=\frac{5\pi }{24}+k\pi ,k\in Z\] và \[x=\frac{13\pi }{48}+k\frac{\pi }{2},k\in Z\]
c)
.png)
Các giá trị này thỏa mãn điều kiện (1). Vậy ta có: \[x=\frac{k\pi }{3},k\in Z\]
d)
.png)
Nếu k = 2m + 1, m ∈ Z thì các giá trị này không thỏa mãn điều kiện (3).
Suy ra các giá trị cần tìm là \[x=\frac{\pi }{6}+m\pi ,m\in Z\]
Bài 2.6 trang 23 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11
Giải các phương trình
a) cos 3x - sin 2x = 0
b) tanx. tan 2x = - 1
c) sin 3x + sin 5x = 0
d) cot 2x. cot 3x = 1
Giải:
a)
cos3x−sin2x=0
⇔cos3x=sin2x
.png)
Vậy nghiệm của phương trình là: \[x=\frac{\pi }{10}+\frac{k2\pi }{5},k\in Z\] và \[x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in Z\]
b) Điều kiện của phương trình: cos x ≠ 0 và cos2x ≠ 0
\[\tan x.\tan 2x=-1\]
\[\Rightarrow \sin x.\sin 2x=-\cos x.\cos 2x\]
\[\Rightarrow \cos 2x.\cos x+\sin 2x.\sin x=0\]
\[\Rightarrow \cos x=0\]
Kết hợp với điều kiênh ta thấy phương trình vô nghiệm.
c)
\[sin3x+sin5x=0\Leftrightarrow 2sin4x.cosx=0\]
Vậy nghiệm của phương trình là: \[x=\frac{k\pi }{4},k\in Z\] và \[x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in Z\]
d) Điều kiện: sin2x ≠ 0 và sin 3x ≠ 0
\[\cot 2x.\cot 3x=1\]
\[\Rightarrow \cos 2x.\cos 3x=\sin 2x.\sin 3x\]
\[\Rightarrow \cos 2x.\cos 3x-\sin 2x.\sin 3x=0\]
\[\Rightarrow \cos 5x=0\Rightarrow 5x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in Z\]
\[\Rightarrow x=\frac{\pi }{10}+\frac{k\pi }{5},k\in Z\]
Với k = 2 + 5m, m ∈ Z thì
\[x=\frac{\pi }{10}+\left( 2+5m \right).\frac{\pi }{5}\]
\[=\frac{\pi }{10}+\frac{2\pi }{5}+m\pi \]
\[=\frac{\pi }{2}+m\pi ,m\in Z\]
Lúc đó sin2x=sin(π+2mπ)=0, không thỏa mãn điều kiện.
Có thể suy ra nghiệm phương trình là \[x=\frac{\pi }{10}+\frac{k\pi }{5},k\in Z\] và k ≠ 2 + 5m, m ∈ Z