Câu 1: trang 176 sgk toán Đại số và giải tích 11
Tính đạo hàm của các hàm số sau
a) \[y=\frac{{{x}^{3}}}{3}-\frac{{{x}^{2}}}{2}+x-5\]
b) \[y=\frac{2}{x}-\frac{4}{{{x}^{2}}}+\frac{5}{{{x}^{3}}}-\frac{6}{7{{x}^{4}}}\]
c) \[y=\frac{3{{x}^{2}}-6x+7}{4x}\]
d) \[y=(\frac{2}{x}+3x)(\sqrt{x}-1)\]
e) \[y=\frac{1+\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}\]
f) \[y=\frac{-{{x}^{2}}+7x+5}{{{x}^{2}}-3x}\]
Lời giải
a) \[{y}'={{\left( \frac{{{x}^{3}}}{3}-\frac{{{x}^{2}}}{2}+x-5 \right)}^{\prime }}\]\[=\frac{3{{x}^{2}}}{3}-\frac{2x}{2}+1={{x}^{2}}-x+1\]
b) \[{y}'={{\left( \frac{1}{{{x}^{4}}} \right)}^{\prime }}.\left( 2{{x}^{3}}-4{{x}^{2}}+5x-\frac{6}{7} \right)+\left( \frac{1}{{{x}^{4}}} \right).{{\left( 2{{x}^{3}}-4{{x}^{2}}+5x-\frac{6}{7} \right)}^{\prime }}\]
\[=-\frac{2}{{{x}^{2}}}+\frac{8}{{{x}^{3}}}-\frac{15}{{{x}^{4}}}+\frac{24}{7{{x}^{5}}}\]
c) \[y=\frac{3{{x}^{2}}-6x+7}{4x}\]
\[{y}'={{\left( \frac{3{{x}^{2}}-6x+7}{4x} \right)}^{\prime }}\]
\[=\frac{(6x-6)4x-4(3{{x}^{2}}-6x+7)}{16{{x}^{2}}}\]
\[=\frac{3{{x}^{2}}-7}{4{{x}^{2}}}\]
d) \[{y}'={{\left[ (\frac{2}{x}+3x)(\sqrt{x}-1) \right]}^{\prime }}\]
\[=\left( -\frac{2}{{{x}^{2}}}+3 \right)(\sqrt{x}-1)+\frac{1}{2\sqrt{x}}.\left( \frac{2}{x}+3x \right)\]
\[=\frac{9{{x}^{2}}\sqrt{x}-6{{x}^{2}}-2\sqrt{x}+4}{2{{x}^{2}}}\]
e) \[{y}'={{\left( \frac{1+\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}} \right)}^{\prime }}=\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(1-\sqrt{x})+\frac{1}{2\sqrt{x}}(1+\sqrt{x})}{{{(1-\sqrt{x})}^{2}}}\]
\[=\frac{1}{\sqrt{x}{{(1-\sqrt{x})}^{2}}}\]
f) \[{y}'={{\left( \frac{-{{x}^{2}}+7x+5}{{{x}^{2}}-3x} \right)}^{\prime }}\]
\[=\frac{(-2x+7)({{x}^{2}}-3x)-(2x-3)(-{{x}^{2}}+7x+5)}{{{({{x}^{2}}-3x)}^{2}}}\]
\[=\frac{-4{{x}^{2}}-10x+15}{{{({{x}^{2}}-3x)}^{2}}}\]
Câu 2: trang 176 sgk toán Đại số và giải tích 11
Tính đạo hàm của các hàm số sau
a) \[y=2\sqrt{x}sinx-\frac{\cos x}{x}\]
b) \[y=\frac{3\cos x}{2x+1}\]
c) \[y=\frac{{{t}^{2}}+2\cot t}{\sin t}\]
d) \[y=\frac{2\cos \varphi -\sin \varphi }{3\sin \varphi +\cos \varphi }\]
e) \[y=\frac{\tan x}{\sin x+2}\]
f) \[y=\frac{\cot x}{2\sqrt{x}-1}\]
Lời giải
a)
\[{y}'={{\left( 2\sqrt{x}sinx-\frac{\cos x}{x} \right)}^{\prime }}\]
\[=2\frac{1}{2\sqrt{x}}\sin x+2\sqrt{x}\cos x-\frac{-x\sin x-\cos x}{{{x}^{2}}}\]
\[=\frac{x\sqrt{x}\sin x+2{{x}^{2}}\sqrt{x}\cos x+x\sin x+\cos x}{{{x}^{2}}}\]
\[=\frac{x(\sqrt{x}+1)\sin x+(2{{x}^{2}}\sqrt{x}+1)cosx}{{{x}^{2}}}\]
b)
\[{y}'=\frac{-3\sin x\left( 2x+1 \right)-2.3\cos x}{{{\left( 2x+1 \right)}^{2}}}\]
\[=\frac{-6x\sin x-3\sin x-6\cos x}{{{\left( 2x+1 \right)}^{2}}}\]
c)
\[{y}'={{\left( \frac{{{t}^{2}}+2\cos t}{\sin t} \right)}^{\prime }}\]
\[=\frac{({{t}^{2}}+2cost{)}'.sint-({{t}^{2}}+2cost)(sint{)}'}{si{{n}^{2}}t}\]
\[=\frac{2t\sin t-2{{\sin }^{2}}t-{{t}^{2}}\cos t-2{{\cos }^{2}}t}{{{\sin }^{2}}t}\]
\[=\frac{2t\sin t-{{t}^{2}}\cos t-2}{{{\sin }^{2}}t}\]
d)
\[{y}'={{\left( \frac{2\cos \varphi -\sin \varphi }{3\sin \varphi +\cos \varphi } \right)}^{\prime }}\]
\[=\frac{(2cos\varphi -sin\varphi {)}'(3sin\varphi +cos\varphi )-(2cos\varphi -sin\varphi )(3sin\varphi +cos\varphi {)}'}{{{(3sin\varphi +cos\varphi )}^{2}}}\]
\[=\frac{(-2sin\varphi -\cos \varphi )(3sin\varphi +\cos \varphi )-(3\cos \varphi -\sin \varphi )(2\cos \varphi -\sin \varphi )}{{{(3\sin \varphi +\cos \varphi )}^{2}}}\]
\[=\frac{-6si{{n}^{3}}\varphi -2sin\varphi cos\varphi -3sin\varphi cos\varphi -co{{s}^{2}}\varphi -(6co{{s}^{3}}\varphi -2sin\varphi cos\varphi -3sin\varphi cos\varphi +si{{n}^{2}}\varphi )}{{{(3\sin \varphi +\cos \varphi )}^{2}}}\]
\[=\frac{-7}{{{(3\sin \varphi +\cos \varphi )}^{2}}}\]
e)
\[{y}'={{\left( \frac{\tan x}{\sin x+2} \right)}^{\prime }}\]\[=\frac{\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}(\sin x+2)-\cos x\tan x}{{{(\sin x+2)}^{2}}}\]
\[=\frac{{{\sin }^{3}}x+2}{{{\cos }^{2}}x{{(\sin x+2)}^{2}}}\]
f) \[{y}'={{\left( \frac{\cot x}{2\sqrt{x}-1} \right)}^{\prime }}\]
\[=\frac{{{(\cot x)}^{\prime }}(2\sqrt{x}-1)-\cot x{{(2\sqrt{x}-1)}^{\prime }}}{{{(2\sqrt{x}-1)}^{2}}}\]
\[=\frac{\frac{-1}{{{\sin }^{2}}x}(2\sqrt{x}-1)-\cot x.\frac{1}{\sqrt{x}}}{{{(2\sqrt{x}-1)}^{2}}}\]
\[=\frac{\frac{1-2\sqrt{x}}{{{\sin }^{2}}x}-\frac{\cot x}{\sqrt{x}}}{{{(2\sqrt{x}-1)}^{2}}}\]
Câu 3: trang 176 sgk toán Đại số và giải tích 11
Cho hàm số \[f(x)=\sqrt{1+x}\]. Tính \[f(3)+(x-3){f}'(3)\]
Lời giải
Ta có:
\[f(3)=\sqrt{1+3}=2\]
\[{f}'(x)=\frac{1}{2\sqrt{1+x}}\Rightarrow {f}'(3)=\frac{1}{2\sqrt{1+3}}=\frac{1}{4}\]
Suy ra:
\[f(3)+(x-3){f}'(3)=2+\frac{x-3}{4}=\frac{5+x}{4}\]
Câu 4: trang 176 sgk toán Đại số và giải tích 11
Cho hai hàm số \[f(x)=\tan x\] và \[g(x)=\frac{1}{1-x}\]
Tính \[\frac{{f}'(0)}{{g}'(0)}\]
Lời giải
\[{f}'(x)=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}\Rightarrow {f}'(0)=\frac{1}{{{\cos }^{2}}0}=1\]
\[{g}'(0)=-\frac{(1-x{)}'}{{{(1-x)}^{2}}}=\frac{1}{{{(1-x)}^{2}}}\]
\[\Rightarrow {g}'(0)=\frac{1}{{{(1-0)}^{2}}}=1\]
\[\Rightarrow \frac{{f}'(0)}{{g}'(0)}=1\]
Câu 5: trang 176 sgk toán Đại số và giải tích 11
Giải phương trình \[{f}'(x)=0\], biết rằng:
\[f(x)=3x+\frac{60}{x}-\frac{64}{{{x}^{3}}}+5\]
Lời giải
Ta có:
\[f(x)=3x+\frac{60}{x}-64.{{x}^{-3}}+5\]
\[\Rightarrow {f}'(x)=3-\frac{60}{{{x}^{2}}}+192{{x}^{-4}}\]
\[=3-\frac{60}{{{x}^{2}}}+\frac{192}{{{x}^{4}}}=\frac{3{{x}^{4}}-60{{x}^{2}}+192}{{{x}^{4}}}\]
Vậy:
\[f\prime (x)=0\Leftrightarrow 3{{x}^{4}}-60{{x}^{2}}+192=0(x\ne 0)\]
.png)
Câu 6: trang 176 sgk toán Đại số và giải tích 11
Cho \[{{f}_{1}}\left( x \right)=\frac{\cos x}{x};{{f}_{2}}\left( x \right)=x\sin x\]
Tính \[\frac{{{f}_{1}}^{\prime }(1)}{{{f}_{2}}^{\prime }(1)}\]
Lời giải
Ta có:
\[{{f}_{1}}^{\prime }\left( x \right)=\frac{-x\sin x-\cos x}{{{x}^{2}}}\]
\[\Rightarrow {{f}_{1}}^{\prime }\left( 1 \right)=\frac{-1.\sin 1-\cos 1}{1}=-\sin 1-\cos 1\]
\[{{f}_{2}}^{\prime }\left( x \right)=\sin x+x\cos x\]
\[\Rightarrow {{f}_{2}}^{\prime }\left( 1 \right)=\sin 1+\cos 1\]
\[\Rightarrow \frac{{{f}_{1}}^{\prime }\left( 1 \right)}{{{f}_{2}}^{\prime }\left( 1 \right)}=\frac{-\sin 1-\cos 1}{\sin 1+\cos 1}=-1\]
Câu 7: trang 176 sgk toán Đại số và giải tích 11
Viết phương trình tiếp tuyến:
a) Của hypebol \[y=\frac{x+1}{x-1}\] tại A(2,3)
b) Của đường cong \[y={{x}^{3}}+4{{x}^{2}}1\] tại điểm có hoành độ \[{{x}_{0}}=-1\]
c) Của parabol \[y={{x}^{2}}4x+4\] tại điểm có tung độ \[{{y}_{0}}=1\]
Lời giải
a) Ta có:
\[{y}'={f}'(x)=\frac{-2}{{{(x-1)}^{2}}}\Rightarrow {f}'(2)=\frac{-2}{{{(2-1)}^{2}}}=-2\]
Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
\[y=-2\left( x-2 \right)+3=-2x+7\]
b) Ta có: \[{y}'={f}'(x)=3{{x}^{2}}+8x\Rightarrow {f}'(-1)=38=-5\]
Mặt khác: \[{{x}_{0}}=-1\Rightarrow {{y}_{0}}=-1+41=2\]
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
\[y2=-5(x+1)\Leftrightarrow y=-5x3\]
c) Ta có:
\[{{y}_{0}}=1\Rightarrow 1=x_{0}^{2}-4{{x}_{0}}+4\Rightarrow x_{0}^{2}4{{x}_{0}}+3=0\]
\[{f}'(x)=2x4\Rightarrow {f}'(1)=-2\] và \[{f}'(3)=2\]
Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là:
\[y1=-2(x1)\Leftrightarrow y=-2x+3\]
\[y1=2(x3)\Leftrightarrow y=2x5\]
Câu 8: trang 177 sgk toán Đại số và giải tích 11
Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình \[S={{t}^{3}}-3{{t}^{2}}9t\],trong đó t được tính bằng giây và Sđược tính bằng mét.
a) Tính vận tốc của chuyển động khi t=2s
b) Tính gia tốc của chuyển động khi t=3s
c) Tính gia tốc tại thời điểm vận tốc triệt tiêu
d) Tính vận tốc tại thời điểm gia tốc bị triệt tiêu.
Lời giải
a) Vận tốc của chuyển động khi t=2 (s)
\[S={{t}^{3}}-3{{t}^{2}}9t\]
Ta có: \[v={S}'=3{{t}^{2}}-6t-9\]
Khi t=2(s)⇒v=3.22–6.2–9=−9m/s
Vậy khi t=2(s)thì vận tốc là v=−9m/s
b) Gia tốc của chuyển động khi t=3(s)
Ta có: \[a={v}'=6t-6\]
Khi t=3(s)⇒a=6.3–6=12m/s2
Vậy khi t=3(s)thì gia tốc là a=12m/s2
c) Ta có: \[v=3{{t}^{2}}6t9\]
Tại thời điểm vận tốc triệt tiêu:
\[v=0\Leftrightarrow 3{{t}^{2}}-6t-9=0\Leftrightarrow {{t}^{2}}-2t-3=0\]
.png)
Vậy khi vận tốc triệt tiêu thì t=3(s)hay a=12m/s2
d) Gia tốc: a=6t–6
Khi t=1(s)⇒v=3.12–6.1–9=−12m/s
Vậy khi gia tốc triệt tiêu thì vận tốc là v=−12m/s
Câu 9: trang 177 sgk toán Đại số và giải tích 11
Cho hai hàm số: \[y=\frac{1}{x\sqrt{2}};y=\frac{{{x}^{2}}}{\sqrt{2}}\] . Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của mỗi hàm số đã cho tại giao điểm của chúng. Tính góc giữa hai tiếp tuyến kể trên.
Lời giải
\[{{C}_{1}}:y=f(x)=\frac{1}{x\sqrt{2}}\Rightarrow {f}'(x)=-\frac{1}{{{x}^{2}}\sqrt{2}}\]
\[{{C}_{2}}:y=g(x)=\frac{{{x}^{2}}}{\sqrt{2}}\Rightarrow {g}'(x)=\frac{2x}{\sqrt{2}}=x\sqrt{2}\]
Phương trình hoành độ giao điểm của (C1) và (C2) là:
Vậy giao điểm của (C1) và (C2) là \[A(1,\frac{\sqrt{2}}{2})\]
Phương trình tiếp tuyến của (C1) tại điểm A là:
\[y-\frac{\sqrt{2}}{2}={f}'(1)(x-1)\]
\[\Leftrightarrow y-\frac{\sqrt{2}}{2}=-\frac{1}{\sqrt{2}}(x-1)\]
\[\Leftrightarrow y=-\frac{x}{\sqrt{2}}+\sqrt{2}\]
Tiếp tuyến này có hệ số góc \[{{k}_{1}}=\frac{-1}{\sqrt{2}}\]
\[y-\frac{\sqrt{2}}{2}={g}'(1)(x-1)\Leftrightarrow y-\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}(x-1)\]
\[\Leftrightarrow y=x\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\]
Tiếp tuyến này có hệ số góc \[{{k}_{2}}=\sqrt{2}\]
Ta có \[{{k}_{1}}.{{k}_{2}}=(-\frac{1}{\sqrt{2}})(\sqrt{2})=-1\]
⇒ Hai tiếp tuyến nói trên vuông góc với nhau
⇒ góc giữa hai tiếp tuyến bằng 900.
Câu 10: trang 177 sgk toán Đại số và giải tích 11
Với \[g(x)=\frac{{{x}^{2}}-2x+5}{x-1}\], \[{g}'(2)\] bằng:
A. 1 B. −3 C. −5 D. 0
Lời giải
\[{g}'\left( x \right)=\frac{\left( 2x-2 \right)\left( x-1 \right)-\left( {{x}^{2}}-2x+5 \right)}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}\]
\[{g}'\left( x \right)=\frac{2{{x}^{2}}-4x+2-{{x}^{2}}+2x-5}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}\]
\[{g}'\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}-2x-3}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}\]
\[\Rightarrow {g}'\left( 2 \right)=\frac{{{2}^{2}}-2.2-3}{{{\left( 2-1 \right)}^{2}}}=-3\]
Chọn đáp án B.
Câu 11: trang 177 sgk toán Đại số và giải tích 11
Nếu \[f(x)=si{{n}^{3}}x+{{x}^{2}}\] thì \[{f}''(\frac{-\pi }{2})\] bằng
A. 0 B. 1 C. −2 D. 5
Lời giải
Ta có:
\[{f}'(x)=3{{\sin }^{2}}x\cos x+2x\]
\[\Rightarrow {f}''(x)=3\left[ 2\sin x.cosx.cosx+si{{n}^{2}}x.(-\sin x) \right]+2\]
\[=3(2\sin x.co{{s}^{2}}x-{{\sin }^{3}}x)+2\]
\[\Rightarrow {f}'(\frac{-\pi }{2})=3\left[ 2\sin (-\frac{\pi }{2}).co{{s}^{2}}(\frac{-\pi }{2})-{{\sin }^{3}}(-\frac{\pi }{2}) \right]+2=3.1+2=5\]
Vậy chọn đáp án D
Câu 12: trang 177 sgk toán Đại số và giải tích 11
Giả sử \[h(x)=5{{(x+1)}^{3}}+4(x+1)\]
Tập nghiệm của phương trình h′′(x)=0 là:
A. [−1,2] B. (−∞,0]
C. {−1} D. Ø
Lời giải
Ta có:
\[{h}'(x)=15{{(x+1)}^{2}}+4\]
\[\Rightarrow {h}''(x)=30(x+1)\]
Vậy \[{h}''(x)=0\Leftrightarrow x+1=0\Leftrightarrow x=-1\]
Chọn đáp án C.
Câu 13: trang 177 sgk toán Đại số và giải tích 11
Cho \[f(x)=\frac{{{x}^{3}}}{3}+\frac{{{x}^{2}}}{2}+x\]
Tập nghiệm của bất phương trình f′(x)≤0
A. Ø B. (0,+∞)
C. [−2,2] D. (−∞,+∞)
Lời giải
Ta có:
\[{f}'(x)={{x}^{2}}+x+1\]
\[{f}'(x)={{x}^{2}}+x+1\le 0\Leftrightarrow {{(x+\frac{1}{2})}^{2}}+\frac{3}{4}\le 0(*)\]
Bất phương trình (*) vô nghiệm và vế trái dương ∀x∈R.
Chọn đáp án A.