Bài 1.1 trang 12 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11
Tìm tập xác định của các hàm số.
a) \[y=\cos \frac{2x}{x-1}\]
b) \[y=\tan \frac{x}{3}\]
c) \[y=\cot 2x\]
d) \[y=\sin \frac{1}{{{x}^{2}}-1}\]
Giải:
a) \[D=R\setminus \left\{ 1 \right\}\]
b) \[cos\frac{x}{3}\ne 0\Leftrightarrow \frac{x}{3}\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \Leftrightarrow x\ne \frac{3\pi }{2}+k3\pi ,k\in Z\]
Vậy \[D=R\setminus \{3\pi 2+k3\pi ,k\in Z\}\]
c) \[\sin 2x\ne 0\Leftrightarrow 2x\ne k\pi \Leftrightarrow x\ne k\frac{\pi }{2},k\in Z.\]
d) \[D=\text{R}\setminus \left\{ -1;1 \right\}\]
Bài 1.2 trang 12 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11
Tìm tập xác định của các hàm số.
a) \[y=\sqrt{\cos x+1}\]
b) \[y=\frac{3}{{{\sin }^{2}}x-{{\cos }^{2}}x}\]
c) \[y=\frac{2}{\cos x-\cos 3x}\]
d) \[y=\tan x+\cot x\]
Giải:
a) \[\cos x+1\ge 0,\forall x\in R.\] Vậy D = R
b) \[{{\sin }^{2}}x-{{\cos }^{2}}x=-\cos 2x\ne 0\Leftrightarrow 2x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in Z\Leftrightarrow x\ne \frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2},k\in Z.\]
Vậy \[\text{D}=\text{R}\setminus \left\{ \frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2},k\in Z \right\}\]
c) \[\cos x-\cos 3x=-2\sin 2x\sin (-x)=4{{\sin }^{2}}x\cos x\]
\[\Rightarrow \cos x-\cos 3x\ne 0\Leftrightarrow \sin x\ne 0\] và \[\cos x\ne 0\]
\[\Leftrightarrow x\ne k\pi \] và \[x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in Z.\]
Vậy \[D=R\setminus \left\{ \frac{k\pi }{2},k\in Z \right\}\]
d) tan x và cos x có nghĩa khi sin x ≠ 0 và cos x ≠ 0
Vậy \[D=R\setminus \left\{ \frac{k\pi }{2},k\in Z \right\}\]
Bài 1.3 trang 12 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số
a) y=3−2|sinx|
b) y=cosx+cos(x−π3)
c) y=cos2x+2cos2x
d) \[y=\sqrt{5-2{{\cos }^{2}}x{{\sin }^{2}}x}\]
Giải:
a) 0≤|sinx|≤1nn−2≤−2|sinx|≤0
Vậy giá trị lớn nhất của y = 3 - 2|sin x| là 3, đạt được khi sin x = 0; giá trị nhỏ nhất của y là 1, đạt được khi sin x = ± 1
b) cosx+cos(x−π/3)
\[=\sqrt{3}\cos \left( x-\frac{\pi }{6} \right)\]
Vậy giá trị nhỏ nhất của y là \[-\sqrt{3}\] đạt được chẳng hạn, tại \[x=\frac{7\pi }{6}\] ; giá trị lớn nhất của y là \[\sqrt{3}\] đạt được chẳng hạn tại \[x=\frac{\pi }{6}\]
c) Ta có:
\[{{\cos }^{2}}x+2\cos 2x\]
\[=\frac{1+\cos 2x}{2}+2\cos 2x\]
\[=\frac{1+5\cos 2x}{2}\]
Vì -1 ≤ cos2x ≤ 1 nên giá trị lớn nhất của y là 3, đạt được khi x = 0, giá trị nhỏ nhất của y là -2, đạt được khi \[x=\frac{\pi }{2}\]
d) \[5-2{{\cos }^{2}}x{{\sin }^{2}}x=5-\frac{1}{2}{{\sin }^{2}}2x\]
Vì \[0\le {{\sin }^{2}}2x\le 1\text{nn}-\frac{1}{2}\le -\frac{1}{2}{{\sin }^{2}}2x\le 0\]
\[\Rightarrow \frac{3\sqrt{2}}{2}\le y\le \sqrt{5}\]
Suy ra giá trị lớn nhất của y=\[\sqrt{5}\] tại \[x=k\frac{\pi }{2}\] , giá trị nhỏ nhất là \[\frac{3\sqrt{2}}{2}\] tại \[x=\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}\]
Bài 1.4 trang 13 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11
Với những giá trị nào của x, ta có mỗi đẳng thức sau?
a) \[\frac{1}{\tan x}=\cot x\]
b) \[\frac{1}{1+{{\tan }^{2}}x}={{\cos }^{2}}x\]
c) \[\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}=1+{{\cot }^{2}}x\]
d) \[\tan x+\cot x=\frac{2}{\sin 2x}\]
Giải
a) Đẳng thức xảy ra khi các biểu thức ở hai vế có nghĩa tức là sinx ≠ 0 và cosx ≠ 0. Vậy đẳng thức xảy ra khi \[x\ne k\frac{\pi }{2}\], k ∈ Z
b) Đẳng thức xảy ra khi cosx ≠ 0, tức là khi \[x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \] ,k ∈ Z
c) Đẳng thức xảy ra khi sinx ≠ 0, tức là x≠kπ, k ∈ Z
d) Đẳng thức xảy ra khi sinx ≠ 0 và cosx ≠ 0, tức là \[x\ne k\frac{\pi }{2}\], k ∈ Z
Bài 1.5 trang 13 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11
Xác định tính chẵn lẻ của các hàm số
a) \[y=\frac{\cos 2x}{x}\]
b) \[y=x-\sin x\]
c) \[y=\sqrt{1-\cos x}\]
d) \[y=1+\cos x\sin \left( \frac{3\pi }{2}-2x \right)\]
Giải
a) \[y=\frac{\cos 2x}{x}\] là hàm số lẻ
b) \[y=x-\sin x\] là hàm số lẻ
c) \[y=\sqrt{1-\cos x}\] là hàm số chẵn
d) \[y=1+\cos x\sin \left( \frac{3\pi }{2}-2x \right)\] là hàm số chẵn
Bài 1.6 trang 13 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11
a) Chứng minh rằng cos2(x+kπ)=cos2x,k∈Z. Từ đó vẽ đồ thị hàm số y = cos 2x
b) Từ đồ thị hàm số y = cos 2x, hãy vẽ đồ thị hàm số y = |cos 2x|
Giải:
a) cos2(x+kπ)=cos(2x+k2π)=cos2x,k∈Z. Vậy hàm số y = cos 2x là hàm số chẵn, tuần hoàn, có chu kì là π.
Đồ thị hàm số y = cos 2x
.png)
b) Đồ thị hàm số y = |cos 2x|
Bài 1.7 trang 13 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11
Hãy vẽ đồ thị của các hàm số
a) y = 1 + sin x
b) y = cos x - 1
c) y=sin(x−π/3)
d) y=cos(x+π/6)
Giải:
a) Đồ thị hàm số y = 1 + sin x thu được từ đồ thị hàm số y = sinx bằng cách tịnh tiến song song với trục tung lên phía trên một đơn vị.
.png)
b) Đồ thị hàm số y = cos x - 1 thu được từ đồ thị hàm số y = cosx bằng cách tịnh tiến song song với trục tung xuống phía dưới một đơn vị.
c) Đồ thị hàm số y=sin(x−π/3) thu được từ đồ thị hàm số y = sinx bằng cách tịnh tiến song song với trục hoành sang phải một đoạn bằng π/3.
d) Đồ thị hàm số y=cos(x+π/6) thu được từ đồ thị hàm số y = cosx bằng cách tịnh tiến song song với trục hoành sang trái một đoạn bằng π/6.
Bài 1.8 trang 13 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích: Hãy vẽ đồ thị của các hàm số
a) \[y=\tan \left( x+\frac{\pi }{4} \right)\]
b) \[y=\cot \left( x-\frac{\pi }{6} \right)\]
Giải:
a) Đồ thị hàm số \[y=\tan \left( x+\frac{\pi }{4} \right)\] thu được từ đồ thị hàm số y = tanx bằng cách tịnh tiến song song với trục hoành sang trái một đoạn bằng \[\frac{\pi }{4}\]
b) Đồ thị hàm số \[y=\cot \left( x-\frac{\pi }{6} \right)\] thu được từ đồ thị hàm số y = cotx bằng cách tịnh tiến song song với trục hoành sang phải một đoạn bằng \[\frac{\pi }{6}\]