Bài 1 (trang 7 SGK Hình học 11):
Chứng minh rằng: \[{M}'=T\vec{v}(M)\Leftrightarrow M={{T}_{-\vec{v}}}({M}')\]
Lời giải:
\[{M}'={{T}_{{\vec{v}}}}(M)\Leftrightarrow \overrightarrow{M{M}'}=\vec{v}\Leftrightarrow \overrightarrow{{M}'M}=-\vec{v}\Leftrightarrow M={{T}_{-\vec{v}}}({M}')\]
Bài 2 (trang 7 SGK Hình học 11): Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Dựng ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vectơ AG . Dựng điểm D sao cho phép tịnh tiến theo vectơ AG biến D thành A.
Lời giải:
Dựng hình bình hành ABB'G và ACC'G. Khi đó ta có
\[\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{B{B}'}=\overrightarrow{C{C}'}\]. Suy ra \[{{T}_{\overrightarrow{AG}}}(A)=G,{{T}_{\overrightarrow{AG}}}(B)={B}',{{T}_{\overrightarrow{AG}}}(C)={C}'\]
Vậy ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vecto \[\overrightarrow{AG}\] là tam giác GB'C'.
Trên tia GA lấy điểm D sao cho A là trung điểm của GD. Khi đó ta có\[\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AG}\]. Do đó \[{{T}_{\overrightarrow{AG}}}(D)=A\]
Bài 3 (trang 7 SGK Hình học 11): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ v→ = (-1; 2), A(3; 5), B(-1; 1) và đường thẳng d có phương trình x – 2y + 3 = 0.
a. Tìm tọa độ của các điểm A', B' theo thứ tự là ảnh của A, B qua phép tịnh tiến theo vecto v.
b. Tìm tọa độ của điểm C sao cho A là ảnh của C qua phép tịnh tiến theo vectơ v→.
c. Tìm phương trình của đường thẳng d' là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo v.
Lời giải:
a. Gọi tọa độ của A’ là (x’, y’). Theo công thức tọa độ của phép tịnh tiến, ta có:
vecto v = (-1; 2), A(3; 5); A’ = Tv.(A) => x’ = - 1 + 3 => x’ = 2
y’ = 2 + 5 => y’ = 7 => A’(2, 7)
Tương tự, ta tính được B’(-2 ; 3).
b. Gọi tọa độ của C là (x; y). A(3; 5) là ảnh của C qua phép tịnh tiến theo vectơ
c. Vì d’ = Tv.(d) nên d’ // d, do đó để viết phương trình của d’, ta tìm một điểm M ∈ d và ảnh M’ của nó qua phép tịnh tiến theo vectơ v→ và sau đó viết phương trình đường thẳng đi qua M’ và song song với d.
Trong phương trình x – 2y + 3 = 0, cho y = 0 thì x = - 3. Vậy ta được điểm M(-3; 0) thuộc d.
Đường thẳng d có phương trình: x – 2y + 3 = 0
Đường thẳng d’ song song với d có phương trình x – 2y + m =0, d’ đi qua M’ nên:
(-4) – 2.2 + m = 0 <=> m = 8.
Vậy phương trình của d’ là: x - 2y + 8 = 0
Bài 4 (trang 8 SGK Hình học 11): Cho hai đường thẳng a và b song song với nhau. Hãy chỉ ra một phép tịnh tiến biến a thành b. Có bao nhiêu phép tịnh tiến như thế?
Lời giải:
*Lấy A ∈ a và B ∈ b, lúc đó:
Phép tịnh tiến vectơ AB biến a thành b.
*Vì có vô số cách chọn A ∈ a và B ∈ b nên có vô số phép tịnh tiến biến a thành b.