Câu 1: Trang 91 - SGK Hình học 11

Cho hình lăng trụ tứ giác: \[ABCD.A'B'C'D'\]. Mặt phẳng (P) cắt các cạnh bên  \[AA',BB',CC',DD'\] lần lượt tại I,K,L,M.  Xét các vectơ có các điểm đầu là các điểm I,K,L,M và có các điểm cuối là các đỉnh của hình lăng trụ. Hãy chỉ ra các vectơ:

a) Các vectơ cùng phương với \[\overrightarrow{IA}\]

b) Các vectơ cùng hướng với \[\overrightarrow{IA}\]

c) Các vectơ ngược hướng với \[\overrightarrow{IA}\]

Lời giải

 a) Các véctơ cùng phương với \[\overrightarrow{IA}\] là: \[\overrightarrow{I{A}'},\overrightarrow{KB},\overrightarrow{K{B}'},\overrightarrow{LC},\overrightarrow{L{C}'},\overrightarrow{MD},\overrightarrow{M{D}'}\]

b) Các vectơ cùng hướng với \[\overrightarrow{IA}\] là \[\overrightarrow{KB}\], \[\overrightarrow{LC}\], \[\overrightarrow{MD}\]

c) Các véctơ ngược hướng với \[\overrightarrow{IA}\] là \[\overrightarrow{I{A}'},\overrightarrow{KB'},\overrightarrow{L{C}'},\overrightarrow{M{D}'}\]

Câu 2: Trang 91 - SGK Hình học 11

Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Chứng minh rằng:

a) \[\overrightarrow{AB}\]+ \[{B}'{C}'\]+ \[\overrightarrow{D{D}'}\]=\[\overrightarrow{A{C}'}\]

b) \[\overrightarrow{BD}\]- \[\overrightarrow{{D}'D}\]- \[\overrightarrow{{B}'{D}'}\]=\[\overrightarrow{B{B}'}\]

c) \[\overrightarrow{AC}\]+\[\overrightarrow{B{A}'}\]+ \[\overrightarrow{DB}\]+ \[\overrightarrow{{C}'D}\]=\[\vec{0}\]

Lời giải

 

a) \[\overrightarrow{AB}\]+ \[{B}'{C}'\]+ \[\overrightarrow{D{D}'}\]=\[\overrightarrow{AB}\]+\[\overrightarrow{BC}\]+\[\overrightarrow{C{C}'}\]=\[\overrightarrow{A{C}'}\]

b) \[\overrightarrow{BD}\]- \[\overrightarrow{{D}'D}\]- \[\overrightarrow{{B}'{D}'}\]=\[\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{D{D}'}+\overrightarrow{{D}'{B}'}\]=\[\overrightarrow{B{B}'}\]

c) \[\overrightarrow{AC}\]+\[\overrightarrow{B{A}'}\]+ \[\overrightarrow{DB}\]+ \[\overrightarrow{{C}'D}\]=\[\vec{0}\]

c) \[\overrightarrow{AC}\]+\[\overrightarrow{B{A}'}\]+ \[\overrightarrow{DB}\]+ \[\overrightarrow{{C}'D}\]=\[\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{C{D}'}+\overrightarrow{{D}'{B}'}+\overrightarrow{{B}'A}\]=\[\vec{0}\]

Câu 3: Trang 91 - SGK Hình học 11

Cho hình bình hành ABCD. Gọi S là một điểm nằm ngoài mặt phẳng chứa hình bình hành. chứng minh rằng \[\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}\]

Lời giải

Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD, ta có O là trung điểm của AC và BD. Khi đó: 

\[\Rightarrow \overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}\left( dpcm \right)\]

Câu 4: Trang 92 - SGK Hình học 11

Cho hình tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng: 

a) \[\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC} \right)\]

b) \[\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD} \right)\]

Lời giải

a) \[\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN}.\]v

\[\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CN}.\]

Cộng từng vế ta được: 

\[2.\overrightarrow{MN}=(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB})+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}+(\overrightarrow{DN}+\overrightarrow{CN})\]

M là trung điểm AB nên \[\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=0\]

N là trung điểm CD nên:  \[\overrightarrow{DN}+\overrightarrow{CN}=0\]

=>\[2.\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}\]

=> \[\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC} \right)\]

b) Tương tự câu a,ta có:

\[\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CN}\]

\[\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DN}\]

Cộng từng vế ta được: \[\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD} \right).\]

Câu 5: Trang 92 - SGK Hình học 11

Cho hình tứ diện ABCD. Hãy xác định hai điểm E,F sao cho:

a) \[\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD};\]

b) \[\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}.\]

Lời giải

a) \[\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AG}\] với G là đỉnh của hình bình hành ABGC. Ta có:

 \[\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AE}\Rightarrow \] E là đỉnh của hình bình hành ADEG.

b) Ta có \[\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AF}\Rightarrow \] F là đỉnh của hình bình hành ADGF.

Câu 6: Trang 92 - SGK Hình học 11

Cho hình tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh rằng:

\[\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}=3\overrightarrow{DG}.\]

Lời giải

\[\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}\]

\[=\overrightarrow{DG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{DG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{DG}+\overrightarrow{GC}\]

\[=3\overrightarrow{DG}+\left( \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC} \right)\]

\[=3\overrightarrow{DG}\] do \[\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\]

Câu 7: Trang 92 - SGK Hình học 11

Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và BD của tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng MN và P là một điểm bất kì trong không gian. Chứng minh rằng:

a) \[\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}=\vec{0};\]

b) \[\overrightarrow{PI}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PD}).\]

Lời giải

a) \[\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IC}=2\overrightarrow{IM},\]  (quy tắc đường trung truyến trong tam giác IAC)

\[\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{ID}=2\overrightarrow{IN}.\]  (quy tắc đường trung tuyến trong tam giác IBD)

Cộng từng vế ta được :

\[\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}=2(\overrightarrow{IM}+\overrightarrow{IN})=\vec{0}.\]

(do: I là trung điểm của MN nên \[\overrightarrow{IM}+\overrightarrow{IN}=\vec{0})\]

b) Theo quy tắc 3 điểm, ta có:

\[\overrightarrow{PI}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AI}\]

\[\overrightarrow{PI}=\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{BI},\]

\[\overrightarrow{PI}=\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CI},\]

\[\overrightarrow{PI}=\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{DI}.\]

Cộng từng vế ta được:

\[4\overrightarrow{PI}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PD}+(\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{BI}+\overrightarrow{CI}+\overrightarrow{DI})\](1)

Từ a) ta có: \[\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}=\vec{0}.\]

\[\Rightarrow \overrightarrow{AI}+\overrightarrow{BI}+\overrightarrow{CI}+\overrightarrow{DI}=\vec{0}.\]

Thay vào (1) có:\[PI=\frac{1}{4}(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PD}).\]

âu 8: Trang 92 - SGK Hình học 11

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ có  \[\overrightarrow{A{A}'}=\vec{a}\], \[\overrightarrow{AB}=\vec{b}\], \[\overrightarrow{AC}=\vec{c}\]. Hãy phân tích (hay biểu thị véctơ \[\overrightarrow{{B}'C}\], \[\overrightarrow{B{C}'}\] qua các véctơ \[\vec{a},\vec{b},\vec{c}\]

Lời giải

\[\overrightarrow{{B}'C}=\overrightarrow{{B}'{A}'}+\overrightarrow{{A}'A}+\overrightarrow{AC}=-\vec{b}-\vec{a}+\vec{c}\]

\[\overrightarrow{B{C}'}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{A{A}'}+\overrightarrow{{A}'{C}'}=-\vec{b}+\vec{a}+\vec{c}\]

Câu 9: Trang 92 - SGK Hình học 11

Cho tam giác ABC. Lấy điểm S nằm ngoài mặt phẳng (ABC). Trên đoạn SA lấy điểm M sao cho \[\overrightarrow{MS}=-2\overrightarrow{MA}\] và trên  đoạn BC lấy điểm N sao cho \[\overrightarrow{NB}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{NC}.\] Chứng minh rằng ba véctơ  \[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{MN},\overrightarrow{SC}\] đồng phẳng.

Lời giải

\[\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MS}+\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{CN}\]\[=\frac{2}{3}\overrightarrow{AS}+\overrightarrow{SC}+\frac{2}{3}\overrightarrow{CB}\](1)

\[\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN}\]\[=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AS}+\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}\](2)

Nhân (2) với 2 rồi cộng với (1) ta được:

\[\overrightarrow{MN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{SC}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}.\]

Vậy \[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{MN},\overrightarrow{SC}\] đồng phẳng.

Câu 10: Trang 92 - SGK Hình học 11

Cho hình hộp ABCD.EFGH. Gọi K là giao điểm của AH và DE, I là giao điểm của BH và DF. Chứng minh ba véctơ  \[\overrightarrow{AC},\overrightarrow{KI},\overrightarrow{FG}\] đồng phẳng.
Lời giải

\[I=BH\mathop{\cap }^{}DF\] là giao điểm của hai đường chéo hình bình hành BDHF do đó I là trung điểm của BH.

K là giao điểm của hai đường chéo hình bình hành ADHE do đó K là trung điểm của AH.

KI là đường trung bình của tam giác ABH.

\[\Rightarrow KI//AB\Rightarrow KI//(ABCD)\](1)

Ta có: BCGF là hình bình hành

\[\Rightarrow FG//BC\Rightarrow FG//(ABCD)\](2)

Từ (1) và (2) suy ra: các véctơ \[\overrightarrow{KI},\overrightarrow{FG}\] song song với mặt phẳng \[(ABCD)\] chứa véctơ \[\overrightarrow{AC}\]

Vậy \[\overrightarrow{AC},\overrightarrow{KI},\overrightarrow{FG}\] đồng phẳng.