Bài 1: Trang 59 - SGK hình học 11
Cho tứ diện ABCD. Gọi P, Q, R, S là bốn điểm lần lượt lấy trên bốn cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng nếu bốn điểm P, Q, R, S đồng phẳng thì
a) Ba đường thẳng PQ, SR, AC hoặc song song hoặc đồng quy ;
b) Ba đường thẳng PS, RQ, BD hoặc song song hặc đồng quy.
Lời giải
.png)
a) Ta có:
PQ = (ABC) ∩ (PQRS)
RS = (PQRS) ∩ (ACD)
AC = (ABC) ∩ (ACD)
=> 3 mặt phẳng (ABC) ; (PQRS) ; (ACD) đôi một cắt nhau.
=> PQ,RS,AC đồng qui hoặc PQ // RS // AC.
b) Chứng minh tương tự câu a
=>(đpcm)
Bài 2: Trang 59 - SGK hình học 11
Cho tứ diện ABCD và ba điểm P, Q, R lần lượt trên ba cạnh AB, CD, BC. Tìm giao điểm S của AD và mặt phẳng (PQR) trong hai trường hợp sau đây.
a) PR song song với AC
b) PR cắt AC
Lời giải
a)
Nếu PR // AC thì ( PRQ) ∩ (ACD) = QS // CA ( S ∈ AD)
b)
Nếu PR ∩ AC = I thì trong (ACD) kéo dài IQ cắt AD tại S
Bài 3: Trang 60 - SGK hình học 11
Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung đểm của các cạnh AB, CD và G là trung điểm của đoạn MN
a) Tìm giao điểm A' của đường thẳng AG và mặt phẳng (BCD)
b) Qua M kẻ đường thẳng Mx song song với AA' và Mx cắt (BCD) tại M'. Chứng minh B, M', A' thẳng hàng và BM' = M'A' = A'N
c) Chứng minh GA = 3 GA'
Lời giải
a) Trong mặt phẳng (ABN), gọi A’ = AG ∩ BN, ta có:
mà BN lại thuộc mặt phẳng (BCD)
=> A’ = AG ∩ (BCD)
b) *Chứng minh thẳng hàng
Từ M kẻ đường thẳng Mx song song với AA’.
Mx ⊂ (ABN) và Mx ∩ BN = M’
=>M' thuộc BN
=> B, M’,A’ thẳng hàng (đpcm)
*Chứng minh BM' = M'A' = A'N
MM’ là đường trung bình của tam giác ABA’ nên BM’ = M’A’ (1)
GA’ là đường trung bình của tam giác MM’N nên M’A’ = A’N (2)
=>\[\frac{{A}'B}{BN}=\frac{2}{3}\]
BN là đường trung tuyến và \[\frac{{A}'B}{BN}=\frac{2}{3}\]
=> A' là trọng tâm tam giác ∆BCD
=>BM’ = M’A’ = A’N (đpcm)
c) Áp dụng chứng minh câu b ta có:
∆ MM’N :2GA’=MM’
∆ BAA’:2 MM’=AA’
=>GA=3GA’.